Öklid’in Elemanları

A. S. SERTÖZ, Öklid ’in Elemanları. İstanbul 2019. Tübitak Yayınları, 692 sayfa. ISBN: 9786053123286

Prof. Ali Sinan Sertöz’ün çevirisini yaptığı Öklid’in Elemanları isimli kitap 2019 yılında Tübitak Yayınları tarafında popüler bilim kitapları serisi olarak yayınlanmıştır. Kitabın çevirmeni Oklid’i Okurken başlığı altında 10 maddede (i-x) kitap hakkında bilgi sunmuş; ardından Öklid’in 13 kitabının tanımlarının, önermelerinin ve kanıtlarının çevirilerini geometrik şekilleri ile birlikte vermiştir (1-633). Son olarak Seçme ve Önermeler Dizini (685-688) ve Tanımlar Dizini (689-692)’ni eklemiştir.

Oklid’i Okurken başlıklı ilk bölümünün 1. Elemanlar Nedir (I) kısmında Elemanlar’ın, MÖ. 300 yılında yazıldığı düşünülen bir geometri, oranlar ve sayılar kuramı kitabı olduğu açıklanmış, bu bilgilerin sistematik bir yapı içinde sunulduğu, her yeni bilginin sadece daha önce kanıtlanmış bilgiler kullanılarak ve belli bir akıl yürütme düzeni içinde kanıtlandığı, ilk kanıtların daha önce kanıtlar olmadığı için Öklid ’in kanıtlarının dayanacağı geometriye özgü ‘Beş Belit ‘ve akıl yütrütmeye yarayacak ‘Beş Ortak Kavram’ sıraladığı açıklanmıştır. 2. Kaynak Metin (i-ii) kısmında Öklid’in Elamanlarını papirüs kağıtları üzerine yazdığını ve bu papürüslerin günümüze nasıl geldiğini, papirüslerin yüzyıllarca elle çoğaltıldığı, çoğaltılanlar arasında Vatikan Kütüphanesi’nde bulunan dokuzuncu yüzyılda yazılmış bir el yazmasının orjinaline en yakın, bu güne kalan en eski el yazmalarından kabul edildiğini, bu gün yapılan elemanlar çevirilerinin hemen hemen hepsinde bu el yazmasının esas alındığını açıklanmıştır. 3. Elemanların İçeriği (ii) kısmında Elemanlar’ın 13 kitaptan oluştuğu ve bu kitapların konuları verilmektedir. 4. Öklid’in Anlatım Biçimi (iii) kısmında her önermenin sözel olduğunu, kanıtın başında şekil üzerinde önermenin açıklandığını, kanıtlanması istenen ifade için Öklid’in ‘diyorum ki’ ile başlayan cümle ile şekil üzerinde neyin kanıtlanması gerektiğini anlattığını açıklamıştır. Kanıtın içindeki cümlelerin birbirine noktalı virgül ile bağlandığını ve hedeflenen ara sonuçta nokta konduğunu, yeri geldiğinde kanıtları tekraralandığını, ifade etmiştir. 5. Bundan Dolayı vs…(iv-v) kısmında Öklid’in ıspatı şekil üzerinde sonuca ulaştırdıktan sonra ‘bundan dolayı’ diye başlayan cümle ile önermenin tüm metnini yeniden aktararak sonucun mutlak bir geometri sonucu olduğunu hatırlattığını, kanıt sonunda ‘tam olarak kanıtlanması istenen buydu’ diyerek önermeyi tekrarlamadığını açıklamıştır. 6. Çeviri Hakkında (vi) kısmında Öklid’in antik Hellen döneminde kullanılan yazıyı kullandığı ve bu yazının evrimini anlatmıştır. Öklid’in papirüs kağıtlarına yazdığı Elemanları el yazmaları ile çoğaltıldığı ve güvenilir olarak anılan kopyaları ve çeviriyi yaparken kıyasladığı kaynakları ve metinde Öklid’in uslubuna yakın olduğu düşünülen usluptan uzaklaşmasada bazı yerlerde çevirmene ait olduğu belli olacak şekilde açıklamalar yaptığını ve kitabın baştan sona başka kitaba ihtiyaç duymadan okunabileceğini ifade etmiştir. Şekillerin çizim teknikleri ile ilgili bilgi vermiştir. 7. Türkçe‘de Elemanlar (vii) kısmında Elemanlar’ın ilk Türkçe çevirisinin 18 yüzyılda kısmen gerçekleştirildiğini ifade etmiştir. Kendisinin yaptığı bu çevirinin matematik eğitimi almış okuyucular için yapıldığını matematik tarihi eğitimi almış okuyucular için ilerde o konuya yakın kişilerce çevirilerin yapılabileceğini umduğunu açıklamıştır. 8. Oranlar Eşitmidir Aynı mıdır ? (viii) Kısmında Öklid’in oranlar için ‘kendi kendine eşit’ anlamında ifade kullandığını diğer nicelikler için ‘eşit’ kelimesini kullandığını çevirmen kendisinin oranlar için ‘eşit’ kelimesini kullandığını metnin içinde ‘eşit olmak’ ile ‘aynı olamak’ ifadelerinin simgelerle değil sözel olarak anlatıldığını ifade etmiş bu konudaki tartışmalar için kitap önerilerini vermiştir. 9. Elemanlar Mükemmel midir? (x) Kısmında Öklid’in, Elemanlar kitabında zaman zaman önceden belirtmediği bazı varsayımları bilerek yada bilmeyerek kullanıverdiğini; bazı tanımların kanıtların gidişinden anlaşılmasının beklendiğini ifade etmiş ve bu konu ile ilgili yazılmış kitap önerilerini sunmuştır. 10. İyi Okumalar (x-xi) kısmında matematik kitabını okumanın tekniklerini, bununla ile ilgili düşünce ve duygu durumunu ifade etmiştir.

Prof. Ali Sinan Sertöz ikinci bölümde Oklid’in ‘Elemanlar’ kitabının çevirilerine geçerek kitapları bu şekilde açıklayıp irdelemiştir. Kitap I (1-50) Düzlem geometrinin temelleri olan doğrular ile ilgili; nokta, çizgi, doğru, yüzey, düzlem, düzkenar, dik açı, dar açı, sınır, şekil, çember, çemberin merkezi, çemberin çapı, yarım çember, düzkenarlı şekiller, üçgen, dörtgen, çokgen, eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen, çeşitkenar üçgen, dik üçgen, genişaçılı üçgen, dar açılı üçgen, kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, eğik dörtgen, yamuk,ve paralel tanımları olmak üzere 23 tanım vermiştir. Birinci kitapta diğer kitaplardan farklı olarak Öklid’in kanıtlarının dayanacağı geometriye özgü beş belit ve akıl yürütmeye yarayacak beş ortak kavram (3) vardır. Bunlar diğer önermelerin mantık zicirini oluşturan ilk halkalar olarak düşünülebilir. Önerme ile başlayıp şekille devam eden ve kanıtların cümlelerle anlatıldığı şu önermelerle devam etmiştir. Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar bir üçgen çizmenin yolu (4). Verilen bir noktadan başlamak üzere verilen bir doğruya eşit bir parçası çizmenin yolu (5). Farklı uzunlukta iki doğru verildiğinde uzun olandan kısa olana eşit bir doğru çıkarmanın yolu (6). Eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir (7). İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir ve eğer eşit olan kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan açılarda birbirine eşit olacaktır (8). Eğer bir üçgende iki açı birbirine eşitse bu eşit açıları gören kenarlarda birbirine eşittir (9). Bir doğru parçasının iki ucundan aynı tarafa doğru iki doğru çizildiğinde bir noktada kesişiyorlarsa, bu doğruların çıktığı noktalardan çıkan, onlara eşit olun ve onların uzatıldığı tarafa uzatılıp da başka bir noktada kesişen başka iki doğru yoktur (10). Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları birbirlerine eşitse ve üstelik tabanları da birbirine eşitse, o zaman bu üçgenlerin eşit kenarlar arasında kalan açıları da eşittir (11). Bir düzkenarlı açıyı ikiye bölmenin yolu (12). Verilen bir sonlu doğruyu ikiye bölmenin yolu (13). Bir doğruya üzerinde verilen bir noktadan dik bir doğru çizmenin yolu (14). Bir doğruya çizilen başka bir doğru eğer açı oluşturuyorsa ya iki dik açı oluşturur ya da iki dik açıya eşit açılar oluşturur (15). Eğer bir doğru parçasının üzerindeki bir noktadan, bu doğru parçasının aynı tarafında olmayacak şekilde çizilen iki doğrunun bu doğru parçasıyla oluşturdukları açılar iki dik açı ediyorsa, bu iki doğru aynı doğru üzerindedir (16). Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters köşe açıları eşittir (17). Bir üçgenin bir kenarı uzatıldığında oluşan dış açı karşı iç açıların ikisinden de büyüktür (18). Bir üçgenin herhangi iki iç açısı iki dik açıdan küçüktür (19). Bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıyı görür (20). Bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenarı görür (21). Bir üçgende herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan büyüktür (22). Bir üçgenin herhangi bir kenarının uçlarından üçgenin içinde birleşecek şekilde iki doğru çizilirse bu doğrular üçgenin diğer iki kenarından küçük olacak ama daha büyük bir açı içereceklerdir (23). Kenarları, verilen üç doğru parçasına eşit olan bir üçgen çizmenin yolu: bu durumda bu üç doğru parçasının herhangi iki tanesinin diğerinden büyük olması gerekir (24). Bir doğru üzerindeki bir noktadan verilen bir düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı çizmenin yollu (25). Karşılıklı ikişer kenarları eşit olan üçgenlerden bu eşit kenarlar arasındaki açısı diğerininkinden büyük olan üçgenin tabanı da diğerinin tabanından büyüktür (26). Eğer iki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları eşit ama birinin tabanı diğerinkinden büyükse, eşit kenarları arasında kalan açısı da diğerinkinden büyük olacaktır (27). Karşılıklı ikişer açıları aynı olan üçgenlerde eğer bu açılar arasında kalan kenarlar eşitse, ya da bu eşit açılardan birini gören kenar diğer üçgendeki eşit açılardan birini gören kenara eşitse, bu üçgenlerde diğer kenarlar da eşit olur ve birinin kalan açısı öbürünün kalan açısına eşit olur (28). Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde oluşan ters iç açılar eşitse, o iki doğru paraleldir (29). Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde biriyle yaptığı dış açı diğeriyle aynı tarafta yaptığı karşı iç açıya eşitse, ya da aynı taraftaki iç açılar iki dik açıya eşitse, o iki doğru paraleldir (30). Eğer iki doğru paralelse bunları kesen bir doğrunun oluşturduğu ters iç açılar eşittir, dış açı karşı iç açıya eşittir, ve aynı taraftaki iç açılar iki dik açıya eşittir (31). Aynı doğruya paralel olan doğrular birbirlerine de paraleldir (32).Verilen bir noktadan verilen bir doğruya paralel bir doğru çizmenin yolu (33). Bir üçgende kenarlardan biri uzatılırsa, dış açı karşı iki iç açının toplamına eşittir, ve üçgenin iç açıları iki dik açıya eşittir (33). Eşit ve paralel doğruları aynı yönlerde birleştiren doğrular da eşit ve paraleldir (34). Bir paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir, ve paralelkenarın köşegeni alanını ikiye böler (35). Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir (36). Eşit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir (37). Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir (38). Eşit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir (38). Aynı tabanın üzerinde ve aynı tarafında olan eşit üçgenler aynı paralellerin arasındadır (39). Eşit tabanların üzerinde ve aynı tarafında olan eşit üçgenler aynı paralellerin arasındadır (40). Eğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahipse ve üç- genle aynı paraleller arasındaysa paralelkenar, üçgenin iki katıdır (41). Düzkenar bir açının içine verilen bir üçgene eşit bir paralelkenar çizmenin yolu (41). Herhangi bir paralelkenarda köşegen üzerindeki paralelkenarların tümleyenleri birbirine eşittir (42). Verilen bir doğru üzerine, verilen bir düzkenar açı içine, verilen bir üçgene eşit bir paralelkenar çizmenin yolu (43). Bir düzkenar açı içine verilen bir düzkenar şekle eşit bir paralelkenar çizmenin yolu (44). Bir doğru parçası üzerine bir kare çizmenin yolu (46). Dik açılı üçgenlerde dik açıyı gören kenar üzerindeki kare, dik açıyı içeren kenarlar üzerindeki karelere eşittir (47). Eğer bir üçgende bir kenar üzerindeki kare diğer iki kenarın üzerindeki karelere eşitse, diğer iki kenar arasındaki açı diktir (49). Şeklinde 48 tane önermeye yer verilmiştir.

Kitap II (51-72) Geometriye ilişkin hesapların temelleri ile ilgili; dik açılı bir paralelkenarın içerdiği dikdörtgen ve kadran tanımı olmak üzere iki tane tanım verilmiştir. Tanımlardan sonra şu önermelerle devam etmiştir: İki doğru verildiyse ve doğrulardan biri rasgele sayıda parçalara kesilirse bu iki doğrunun içerdiği dikdörtgen, kesilmemiş doğru ile kesilmiş her bir parçanın içerdiği dikdörtgenlerin toplamına eşittir. bir doğru parçası rasgele ikiye kesilirse bütünün üzerindeki karelerle bu parçaların içerdiği dikdörtgenin iki katına eşittir (51). Bir doğru rasgele kesildiğinde ,bütününü parçalarla içerdiği dikdörtgenler, bütünün üzerindeki kareye eşittir (52). Bir doğru rasgele ikiye kesilirse bu parçalardan biriyle bütünün içerdiği dikdörtgen, o parçanın üzerindeki kareyle o parçanın diğer parçayla içerdiği dikdörtgene eşittir (53). Bir doğru parçası rasgele ikiye kesilirse bütünün üzerindeki kare, parçaların üzerindeki karelerle bu parçaların içerdiği dikdörtgenin iki katına eşittir (54). Bir doğru eşit ve eşit olmayan iki parçaya kesilse eşit olmayan parçalarn içerdiği dikdörtgen ile kesen noktalar arasındaki doğrunun üzerindeki kare, yarımın üzerindeki kareye eşittir (56) gibi 14 tane önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap III (73-120) Düzlem geometrinin temelleri olan çemberler ile ilgili; eşit çemberler, çembere değen doğru, birbirine değen doğrular, merkezden eşit uzaklıkta doğrular, merkezden daha uzakta doğrular, çember parçası, çember parçasının açısı, çember parçasının içindeki açı, çevreyi gören açı, çember dilimi, benzer çember parçaları olmak üzere, 11 tanım verilmiş; tanımlardan sonra: Çemberin merkezini bulmanın yolu (74). Çemberin üzerinde rasgele iki nokta alınırsa bu noktaları birleştiren doğru çemberin içinde kalır (75). Çemberin merkezinden geçen bir doğru, çemberin merkezinden geçmeyen başka bir doğruyu iki eşit parçaya bölerse aynı zamanda diktir ve eğer dikse aynı zamanda iki eşit parçaya böler (76). Bir çemberde merkezden geçmeyen iki doğru birbirini kesiyorsa bunlar iki eşit parçaya bölmezler (77). Eğer iki çember kesişiyorsa merkezleri aynı olmaz, eğer iki çember birbirine deiyorsa merkezleri aynı olmaz (78) gibi 37 önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap IV (121-144) Çemberin içine ve dışına çizilen şekiller ile ilgili; düzkenarlı şeklin içine çizilmiş, şekil dışına çizilmiş, çemberin içine çizilmiş şekil, çemberin dışına çizilmiş şekil, şekil içine çizilen çember, şekil dışına çizilen çember, çembere yerleştirilen doğru olmak üzere 7 tanım vermiş; tanımlardan sonra: Verilen bir çembere çapından daha büyük omayacak şekilde verilmiş bir doğru yerleştirmenin yolu (122).Verilen çemberin içine verilen bir üçgenle eşaçılı bir üçgen çizmenin yolu, verilen bir üçgenin içine çember çizmenin yolu (123). Verilen bir çemberi dışına verilen bir üçgenle eşaçılı bir üçgen çizmenin yolu (124). Verilen üçgenin içine çember çizmenin yolu (125). Verilen bir üçgenin dışına çember çizmenin yolu (126). Verilen çemberin içine kare çizmenin yolu (128) gibi 16 önerme ve kanıtı verilmiştir.           

Kitap V (145-174) Oranlar ile ilgili; küçük nicelik büyük niceliğin bir parçası, büyük nicelik küçük niceliğin katı, oran, aynı oran, orantılı, sürekli orantı, çift kat oran, üç kat oranı, çok kat oranı, değitirilmiş oran, ters oran, birleşik oran, ayrışık oran, çevrilmiş oran, eşit dış oran, kaydırılmış orantı, olmak üzere 18 tanım verilmiş; tanımlardan sonra bir miktar niceliğin her biri, sayıca aynı baka niceliklerin her birinin aynı katıysa ilk niceliklerin hepsi ikinci niceliklerin hepsinin aynı katı olur (149). Eşit niceliklerin aynı niceliğe oranları eşittir.ayrıca bir niceliğin eşit iki niceliğe oranları da eşittir (155). Orantılı dört niceliğin değiştirilmiş oranları aynıdır (164) gibi 25 onerme ve kanıtı verilmiş.

Kitap VI (175-220) Benzer şekiler ile ilgili; benzer şekiller, uç ve orta oranda bölünmüş doğru (günümüzde ‘altın oran ‘deniyor), yükseklik olmak üzere 3 tanım (175) verilmiş; tanımlardan sonra yükseklikleri aynı olan üçgenlerin ve paralelkenarın alanlarının oranları tabanlarının oranlarına eşittir (175). Karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler eşaçılıdır ve karşılıklı kenarların gördüğü açılar eşittir (182). Eğer bir dik üçgende , dik açıdan tabana bir dikme çizilirse bu dikmenin iki kenarındaki üçgenler hem birbirine hem de tüm üçgene benzer olur (187). Verilen kesilmemiş bir doğruyu belli oranlarda kesilmiş bir doğru ile aynı oranlarda kesmenin yolu (189). Verilen iki doğruya orta orantılı bulmanın yolu (192). Verilen bir düzkenar şekle benzer ve verilen başka bir düzkenar şekle eşit tek bir şekil çizmenin yolu (209) gibi 33 onerme ve kanıtı verilmiş.

Kitap VII (221-260) Temel sayılar kuramı ile ilgili; birim, sayı, büyük sayının parçası, küçük sayının katı, çift sayı, tek sayı, çift kere çift sayı (iki çift sayının çarpımı olan sayı), çift kere tek sayı (bir çift sayı ile bir tek sayının çarpımı), tek kere tek sayı, (iki tek sayının çarpımı olan sayı), asal sayı, aralarıda asal sayılar, birleşik sayı, aralarında birleşik sayılar, çarpma, sayılar kenar ve çarpımları düzlem, üç sayının çarpımının cisim oluşturması, iki eşit sayının çarpımı kare, küp, orantılı sayılar, benzer düzlem ve cisim sayıları, mükemmel sayı olamak üzere 22 tanım verilmiş; tanımlardan sonra aralarında asal olmayan üç sayı verildiğinde, bunların en büyük orta ölçüsünü bulmanın yolu (225). Her sayı kendinden büyük başka bir sayının ya parçasıdır yada parçalarıdır (227). Öncüllerin ardıllara oranlarının eşit olduğu sayılar alındığında öncüllerin hepsinin ardılların hepsine oranı da aynı olur (235). Orantılı dört sayının değiştirilmiş oranları aynıdır (236). Aynı orandaki saayıların en küçükleri aralarında asaldır (243). İki sayı aralarında asalsa birisinin karesi diğerine asaldır (246) gibi 39 önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap VIII (261-294) Sürekli oranlar ile ilgili; düzlem sayıların birbirine oranı, kenarlarının oranlarının bileşik oranına eşittir (269). Sürekli orantılı istediğimiz miktarda sayı aldığımızda eğer birincisi ikinciyi ölçmüyorsa hiçbiri diğerini ölçmeyecektir (270). İki küp sayı arasında orta orantılı iki sayı vardır ve küpün küpe oranı kenarların oranının üç kat oranıdır (279). Eğer üç sayı sürekli orantılıysa ve birincisi kareyse üçüncüsü de karedir (291). İki benzer cisim sayısının birbirine oranı bir küp sayının bir küp sayıya oranına eşittir (294) gibi 27 önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap IX (295-330) Sayılar kuramının uygulamaları ile ilgili; iki benzer düzlem sayının çarpımı karedir (295). Eğer iki sayının çarpımı kareyse o sayılar benzer düzlem sayılarıdır (296). Bir küp sayının kensisiyle çarpımı bir küptür (296). İki küp sayının çarpımı bir küptür (297). Bir sayının kendisi ile çarpımı küpse sayının kendisi de küptür (299). Verilen bazı asallar tarafından ölçülen en küçük sayı, bu asalların dışında başka hiçbir asal tarafından ölçülmez (310). İki sayı aralarında asalsa , ikincinin hiçbir sayıya oranı , birincinin ikinciye oranına eşit olmaz (312) gibi 36 önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap X (331-518) Eşölçeksiz nicelikler ile ilgili; eşölçekli, eşölçeksiz, karede eşölçekli, karede eşölçeksiz, verilen bir doğru rasyonel ise onunla uzunlukta, karede ya da yalnızca karede eşölçekli olan doğrulara rasyonel,onunla ne uzunlukta nede doğruda eşölçekli olan doğrulara irrasyonel olmak üzere 4 tane tanım (331-332) verilmiş Tanımlar I den sonra; farklı iki nicelikle başlandığında, büyük olandan kendi yarısından büyük bir nicelik çıkarılıp, kalan nicelikten de yine yarısından büyük bir nicelik çıkarılarak devam edildiğinde en baştaki küçük nicelikten daha küçük bir niceliğe ulaşılır (333). Eşölçekli iki nicelik verildiğinde bunların en büyük ortak ölçüsünü bulmanın yolu (335). Eşölçekli rasyonel doğrular tarafından içerilen dikdörtgen rasyoneldir (356). Üzerlerindeki karelerin toplamı rasyonel ama içerikleri dikdörtgen ortadeğer olan, karede eşölçeksiz iki doğru bulmanın yolu (379) gibi 47 tane onerme ve kanıtı (333-396)sunulmuştur ardından Tanım II ye geçişmiş ve birinci türden doğru parçası, ikinci türden doğru parçası, üçüncü türden doğru parçası, dördüncü türden iki parçalı, beşinci türden iki parçalı ve altıncı türden iki parçalı tanımlarını vererek birinci türden iki parçalı doğru çizmenin yolu (398). İkinci türden iki parçalı çizmenin yolu (399). Üçüncü türden iki parçalı doğru çizmenin yolu (401) gibi 48. Önermeden 84. Önermeye kadar önermeleri vermiş ardından Tanımlar III’le devam ederek birinci türden ayrık, ikinci türden ayrık, üçüncü türden ayrık, dördüncü türden ayrık, beşinci ve altıncı türden ayrık tanımlarını vermiş ardından birinci türden bir ayrık bulmanın yolu (458), ikinci türden ayrık doğru bulmanın yolu (459), üçüncü türden ayrık bir doğru bulmanın yolu (461), rasyonel bir doğru ile üçüncü türden ayrık bir doğrunun içerdiği alana eşit karenin kenarı orta değer doğrunun ikinci ayrığıdır (474) gibi Önermeleri ve kanıtlarını vermiştir.

Kitap XI (519-582) Uzay geometrisi ile ilgili; cisim, cismin sınırı, düzleme dik doğru,bir düzleme dik olan düzlem,eşitaçılı düzlemler,paralel düzlemler, benzer cisimler, eşit ve benzer cisimler, çokyüzlü açı, piramit, prizma, küre, kürenin ekseni, kürenin merkezi, kürenin çapı, koni,koninin ekseni, koninin tabanı,silindir,silindirin ekseni, silindirin tabanları, benzer koniler ve silindirler, küp, sekizyüzlü, yirmiyüzlü, onikiyüzlü olmak üzere 28 tane tanım vermiş; adından bir doğrunun bir parçası bir referans düzleminde, bir diğer parçasıda yükseltilmiş başka bir düzlemde olamaz (521). Kesişen iki doğru aynı düzlemdedir ve her üçgen bir düzlemde yatar, kesişen iki düzlemin arakesiti bir doğrudur (523) gibi 39 tane önerme ve kanıtı verilmiştir.               

Kitap XII (583-632) Uzay geometrisinde oranlar ile ilgili; çember içine çizilmiş benzer çokgenlerin oranları çemberlerin çapları üzerindeki karelerin oranına eşittir (583). Dairelerin birbirine oranı çapları üzerindeki karelerin oranına eşittir (585). Yükseklikleri aynı olan üçgen tabanlı piramitlerin birbirine oranı tabanlarının oranına eşittir (597). Aynı yüksekliklteki konilerle silindirlerin birbirine oranı tabanlarının oranına eşittir (608). Aynı merkezli iki küre verildiğinde büyük kürenin içine küçük küreye değmeyen bir çokyüzlü cisim çizmenin yolu (624) gibi 18 önerme ve kanıtı verilmiştir.

Kitap XIII (633-684) Platonik cisimler ile ilgili ; eğer bir doğru uç ve orta oranda kesilirse, büyük parça ile bütünün yarısının oluşurduğu doğru üzerindeki kare yarının üzerindeki karenin beş katıdır (633). Eşkenar bir beşgenin sıralı yada sırasız seçilen üç açısı eşitse bu beşgen eş açılıdır (643). Verilen bir küre içine küp çizmenin ve kürenin çapı üzerindeki karenin küpün kenarı üzerindeki karenin üç katı olduğunu göstermenin yolu (663) gibi 18 tane önerme ve kanıtı verilmiştir.

Son olarak seçme ve önermeler dizini (685-688); tanımlar dizini (689) ne yer verilmiştir. Prof. Ali Sinan Sertöz’ün çevirisinde önermeleri sözel olarak ifade etmesi ve Öklid’in kullandığı uslüptan uzaklaşmama çabası bügünden geriye bakıldığında geçmişe doğru kurulacak bağlantıların ve geçmişten beslenip oluşacak hayallerin önünü açmıştır.